Question

已知雙曲線(xiàn)y²-x²=1，過(guò)上焦點(diǎn)F₂的直線(xiàn)與下支交于A、B兩點(diǎn)，且線(xiàn)段AF₂、BF₂的長(zhǎng)度分別為m、n．
（1）證明mn≥1；
（2）若m＞n，當(dāng)直線(xiàn)AB的斜率時(shí)，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）雙曲線(xiàn)焦點(diǎn)為．設(shè)直線(xiàn)AB的方程為．k=0時(shí)，mn=1．當(dāng)代入雙曲線(xiàn)方程，消去x得．由雙曲線(xiàn)的第二定義，知，，mn＞1．由此可知知mn≥1．
（2）設(shè)直線(xiàn)AB的方程為，代入雙曲線(xiàn)方程，得．由韋達(dá)定理知．，所以．
，．消去，由此能求出的取值范圍．
解答：解：（1）由題設(shè)知雙曲線(xiàn)上焦點(diǎn)為．
設(shè)直線(xiàn)AB的方程為．
當(dāng)k=0時(shí)，A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為1和-1，
此時(shí)mn=1．
當(dāng)代入雙曲線(xiàn)方程，消去x得．（2分）（4分）
由雙曲線(xiàn)的第二定義，知，（8分）
∴．
綜上，知mn≥1．（10分）
（2）設(shè)直線(xiàn)AB的方程為，代入雙曲線(xiàn)方程，消去y并整理得．
∴．（8分）
，
∴．
∴，①
．②
由①②，消去，
即③（12分）
由，
∴，即為所求．（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)秘圓錐曲線(xiàn)的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．