Question

19．已知點O在△ABC的內部，且有$x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}+z\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，記△AOB，△BOC，△AOC的面積分別為S_△AOB，S_△BOC，S_△AOC．若x=y=z=1，則S_△AOB：S_△BOC：S_△AOC=1：1：1；若x=2，y=3，z=4，則S_△AOB：S_△BOC：S_△AOC=4：2：3．

Answer 1

分析 （1）由$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，得O是△ABC的重心，故S_△AOB=S_△BOC=S_△AOC，得出答案；
（2）延長OA，OB，OC，使OD=2OA，OE=3OB，OF=4OC，結合已知可得O是△DEF的重心，故△DOE，△EOF，△DOF的面積相等，進而得到答案．

解答 解：若$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，則O是△ABC的重心，∴S_△AOB=S_△BOC=S_△AOC=$\frac{1}{3}$S_△ABC，∴S_△AOB：S_△BOC：S_△AOC=1：1：1．
若2$\overrightarrow{OA}$+3$\overrightarrow{OB}$+4$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，延長OA，OB，OC，使OD=2OA，OE=3OB，OF=4OC，如圖所示：
則$\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{OF}=\overrightarrow{0}$，∴O是△DEF的重心，∴S_△DOE=S_△EOF=S_△DOF．
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}OA•OBsin∠AOB$=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$OD×$\frac{1}{3}OE$sin∠AOB=$\frac{1}{6}$S_△DOE，
S_△BOC=$\frac{1}{2}OB•OCsin∠BOC$=$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}OE×\frac{1}{4}$OFsin∠BOC=$\frac{1}{12}$S_△EOF，
S_△AOC=$\frac{1}{2}OA•OCsin∠AOC$=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}OD×\frac{1}{4}$OFsin∠BOC=$\frac{1}{8}$S_△DOF，
∴S_△AOB：S_△BOC：S_△AOC=$\frac{1}{6}$：$\frac{1}{12}$：$\frac{1}{8}$=4：2：3．
故答案為1：1：1，4：2：3．

點評 本題考查的知識點是三角形面積公式，三角形重心的性質，平面向量在幾何中的應用，是中檔題．