Question

已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，點P是線段A₁C₁上的動點，則四棱錐P-ABCD的外接球半徑R的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：球的體積和表面積

專題：計算題,球

分析：畫出圖形，設P-ABCD的外接球的球心為G，說明GP=GA=R，設O₁P=x，O₁G=y，求出OG=1-y，推出R²=x²+y²，然后推出R與y的函數關系，利用二次函數的值域求出R的范圍即可．

解答： 解：如圖，設P-ABCD的外接球的球心為G，
∵A，B，C，D在球面上，∴球心在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁上下底面中心連線O₁O上，點P也在球上，
∴GP=GA=R
∵棱長為1，∴OA=

2

2

，設O₁P=x，O₁G=y，
則OG=1-y，在Rt△GO₁P中，有R²=x²+y²…①，
在Rt△GOA中，R2=(

2

2

)2+(1-y)2…②，將①代入②，得x2=

3

2

-2y，
∵0≤x≤

2

2

，∴

1

2

≤y≤

3

4

，∴R2=x2+y2=

3

2

-2y+y2=(y-1)2+

1

2

∈[

9

16

，

3

4

]，
于是R的最小值為

3

4

．R的取值范圍是：[

3

4

，

3

2

]．
故答案為：[

3

4

，

3

2

]．

點評：本題考查球與幾何體的關系，二次函數的最值的求法，考查空間想象能力以及轉化思想的應用．