Question

3．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，其中左焦點為F（-2，0）
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線y=x+m與橢圓C交于不同的兩點A，B，且線段AB的中點M在圓x²+y²=1外，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意列關于a，b，c的方程組，聯(lián)立方程組求得a，b，則橢圓方程可求；
（Ⅱ）聯(lián)立直線方程和橢圓方程，化為關于x的一元二次方程，由判別式大于0及AB中點在橢圓外部求解m的取值范圍．

解答 （ I）由題得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=2}\\{c=2}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=2\sqrt{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），線段AB的中點M（x₀，y₀），
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\\{y=x+m}\end{array}\right.$，消去y得：3x²+4mx+2m²-8=0．
△=96-8m²＞0，得$-2\sqrt{3}＜m＜2\sqrt{3}$，
∴${x}_{0}=\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=-\frac{2m}{3}$，${y}_{0}={x}_{0}+m=\frac{m}{3}$，
∵M（x₀，y₀）在圓x²+y²=1外，
∴$（-\frac{2m}{3}）^{2}+（\frac{m}{3}）^{2}＞1$，解得$m＜-\frac{3\sqrt{5}}{5}$或m$＞\frac{3\sqrt{5}}{5}$．
∴$-2\sqrt{3}＜m＜-\frac{3\sqrt{5}}{5}$或$\frac{3\sqrt{5}}{5}＜m＜2\sqrt{3}$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，考查直線與橢圓位置關系的應用，是中檔題．