Question

2．已知點(diǎn)A（0，-2），B（0，4），動(dòng)點(diǎn)P（x，y）滿足$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=y²-8．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）設(shè)（1）中所求軌跡與直線y=x+2交于C，D兩點(diǎn)，設(shè)C（ x₁，y₁），D（ x₂，y₂），計(jì)算 x₁ x₂，y₁ y₂的值；
（3）求證：OC⊥OD（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．

Answer 1

分析 （1）把向量數(shù)量積轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)表示即可得出動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）聯(lián)立直線方程和拋物線方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，然后利用韋達(dá)定理得答案；
（3）利用向量的數(shù)量積為0，即可證明．

解答 解：（1）A（0，-2），B（0，4），
∵動(dòng)點(diǎn)P（x，y）滿足$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=y²-8，
∴（-x，-2-y）•（-x，4-y）=y²-8，
∴x²+y²-2y-8=y²-8，化為x²=2y．
∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為x²=2y；
（2）聯(lián)立直線y=x+2與拋物線方程得x²-2x-4=0．
設(shè)C（ x₁，y₁），D（ x₂，y₂），則x₁+x₂=2，x₁x₂=-4，
∴y₁ y₂=（x₁+2）（x₂+2）=4；
（3）∵x₁x₂+y₁ y₂=0，∴OC⊥OD（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查了軌跡方程，關(guān)鍵是利用一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系解題，是中檔題．