Question

7．如圖所示，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁棱長為4，點H在棱DD₁上，點I在棱CC₁上，且HD=CI=1，在側面BCC₁B₁內以C₁為一個頂點作邊長為1的正方形EFGC₁，側面BCC₁B₁內動點P滿足到平面CDD₁C₁距離等于線段PF長的$\sqrt{2}$倍，則當點P運動時，三棱錐A-HPI的體積的最小值是（　�。�

• A． $\frac{2\sqrt{17}}{3}$
• B． $\frac{25}{6}$
• C． $\frac{2\sqrt{17}}{3}$（10-3$\sqrt{2}$）
• D． $\frac{20}{3}$-2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 建立空間直角坐標系，求出P的軌跡方程，確定三棱錐A-HPI的體積最小時，P的坐標，即可得出結論．

解答
解：建立空間直角坐標系，如圖所示
設P（x，4，z），則F（1，4，3），N（0，4，z），且4≥x≥0，4≥z≥0；
∵PN=$\sqrt{2}$PF，∴x=2（x-1）²+2（z-3）²，
化簡得（x-$\frac{5}{4}$）²+（z-3）²=$\frac{9}{16}$
∴P為（$\frac{5}{4}$，4，$\frac{9}{4}$）時，三棱錐A-HPI的體積最�。�
∵A（4，0，0），H（0，0，1），I（0，4，1），
∴$\overrightarrow{AH}$=（-4，0，1），$\overrightarrow{AI}$=（-4，4，1），
設平面AHI的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{-4x+z=0}\\{-4x+4y+z=0}\end{array}\right.$，
∴$\overrightarrow{n}$=（1，0，4），
∵$\overrightarrow{AP}$=（-$\frac{11}{4}$，4
∴P到平面AHI的距離為$\frac{|-\frac{11}{4}+9|}{\sqrt{17}}$=$\frac{25}{4\sqrt{17}}$
∴三棱錐A-HPI的體積的最小值是$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×4×\sqrt{17}$×$\frac{25}{4\sqrt{17}}$=$\frac{25}{6}$
故選：B．

點評 本題考查了空間直角坐標系的應用問題，也考查了空間中的距離的最值問題，是較難的題目．