Question

7．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的半焦距為c（c＞0），左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，拋物線${y^2}=\frac{15}{8}（a+c）x$與橢圓交于M，N兩點(diǎn)，若四邊形AMFN是菱形，則橢圓的離心率是（　�。�

• A． $\frac{8}{15}$
• B． $\frac{4}{15}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)菱形的性質(zhì)，求得M的橫坐標(biāo)，代入拋物線方程和橢圓方程，根據(jù)橢圓的性質(zhì)．即可求得橢圓的離心率．

解答 解：由題意知，橢圓的左焦點(diǎn)為F（-c，0），右頂點(diǎn)為A（a，0），由四邊形AMFN是菱形，
∴M、N兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x=$\frac{a-c}{2}$，將x代入拋物線中得：y²=$\frac{15}{16}$（a²-c²），
將M、N兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入橢圓方程中可得：$\frac{（a-c）^{2}}{4{a}^{2}}+\frac{15}{16}\frac{（{a}^{2}-{c}^{2}）}{^{2}}=1$，
由b²=a²-c²，則$\frac{（a-c）^{2}}{4{a}^{2}}$=$\frac{1}{16}$，得$\frac{a-c}{a}$=$\frac{1}{2}$，即1-e=$\frac{1}{2}$，則e=$\frac{1}{2}$，
∴橢圓的離心率為e=$\frac{1}{2}$，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓及拋物線的方程，橢圓的簡單幾何性質(zhì)，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．