Question

12．已知函數(shù)f（x）=log₂（2x+$\sqrt{4{x}^{2}+3t}$）為奇函數(shù)，則實數(shù)t的值為$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 由f（x）為奇函數(shù)便有f（-x）=-f（x），即得到$lo{g}_{2}（-2x+\sqrt{4{x}^{2}+3t}）$=$-lo{g}_{2}（2x+\sqrt{4{x}^{2}+3t}）$，分子有理化并進(jìn)行對數(shù)的運(yùn)算便可得到$lo{g}_{2}（3t）-lo{g}_{2}（2x+\sqrt{4{x}^{2}+3t}）$=$-lo{g}_{2}（2x+\sqrt{4{x}^{2}+3t}）$，這樣便可得出3t=1，從而求出實數(shù)t的值．

解答 解：f（x）為奇函數(shù)；
∴f（-x）=-f（x）；
即$lo{g}_{2}（-2x+\sqrt{4{x}^{2}+3t}）=lo{g}_{2}\frac{3t}{2x+\sqrt{4{x}^{2}+3t}}$=$lo{g}_{2}3t-lo{g}_{2}（2x+\sqrt{4{x}^{2}+3t}）=-lo{g}_{2}（2x+\sqrt{4{x}^{2}+3t}）$；
∴l(xiāng)og₂（3t）=0；
∴3t=1；
∴$t=\frac{1}{3}$．
故答案為：$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查奇函數(shù)的定義，分子有理化和平方差公式，以及對數(shù)的運(yùn)算．