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函數f（x）=（ex-a）2+（e-x-a）2（0＜a＜2）的最小值為


  1. A.
    a2-2
  2. B.
    2（a-1）2
  3. C.
    2-a2
  4. D.
    -2（a-1）2
B
分析：將函數y=（ex-a）2+（e-x-a）2展開，令t=ex+e-x，從而可得關于t的關系式f（t）=t2-2at+2a2-2，根據0＜a＜2，結合函數的對稱軸，利用二次函數的單調性 可求函數的最小值．
解答：由題意，y=（ex+e-x）2-2a（ex+e-x）+2a2-2．令t=ex+e-x，則f（t）=t2-2at+2a2-2．
∵t=ex+e-x≥2，
∴f（t）=（t-a）2+a2-2的定義域為[2，+∞）．
∵拋物線的對稱軸方程是t=a，0＜a＜2
∴[2，+∞）是函數的單調遞增區(qū)間
∴ymin=f（2）=2（a-1）2．
故選B．
點評：本題主要考查函數的最值，解題的關鍵是整體代換，利用二次函數求最值的方法進行解題，必須注意函數的定義域的變化．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知x=
2
是函數f（x）=
(x2-2ax)ex，x＞0
bx，x＜0
的極值點．
（Ⅰ）當b=1時，求函數f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）當b∈R時，函數y=f（x）-m有兩個零點，求實數m的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=ln（ex+a）（a為常數）是實數集R上的奇函數，函數g（x）=λf（x）+sinx是區(qū)間[-
π
2
，
π
2
]上的減函數．
（1）求a的值；
（2）若g（x）≤t2+λt+1在[-1，1]上恒成立，求實數t的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=2x（ex-1）-x2（x∈R）．
（1）求證：函數f（x）有且只有兩個零點；
（2）已知函數y=g（x）的圖象與函數h（x）=-
1
2
f（-x）-
1
2
x2+x的圖象關于直線x=l對稱．證明：當x＞l時，h（x）＞g（x）；
（3）如果一條平行x軸的直線與函數y=h（x）的圖象相交于不同的兩點A和B，試判斷線段AB的中點C是否屬于集合M={（x，y）||x|+|y|≤1}，并說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f（x）=ln（ex+1）（x∈R）可以表示成一個奇函數g（x）和一個偶函數h（x）之和，則h（x）的最小值是
ln2
ln2
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=
(x2-2ax)ex，x＞0
bx                   x≤0
，g（x）=clnx+b，且x=
2
是函數y=f（x）的極值點．
（1）當x＞0時，求函數f（x）的單調區(qū)間；
（2）若函數y=f（x）-m有兩個零點，求實數b，m滿足的條件；
（3）直線l是函數y=f（x）與函數y=g（x）的圖象在x0處的公切線，若x0∈[2，4]，求
b
c
的取值范圍．

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