Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)B與點(diǎn)A(－1，1)關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，P是動(dòng)點(diǎn)，且直線AP與BP的斜率之積等于－．

(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；

(2)設(shè)直線AP和BP分別與直線x＝3交于點(diǎn)M，N，問：是否存在點(diǎn)P使得△PAB與△PMN的面積相等？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)解：因?yàn)辄c(diǎn)B與A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以點(diǎn)得坐標(biāo)為． 　　設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為；由題意得 　　化簡(jiǎn)得． 　　故動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為；5分 　　(Ⅱ)解法一：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)，得坐標(biāo)分別為，． 　　則直線的方程為，直線的方程為 　　令得，． 　　于是得面積 　　又直線方程為，，點(diǎn)到直線的距離． 　　于是的面積 　　當(dāng)時(shí)，得 　　又，所以＝，解得． 　　∵，∴故存在點(diǎn)使得與的面積相等， 　　此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為．12分 　　解法二：若存在點(diǎn)使得與的面積相等，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為 　　則． 　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/5467/0020/3e8a0d63544d66fef64889836621c53a/C/Image101.gif" width=151 HEIGHT=18>，所以 　　所以；即，解得 　　∵，∴故存在點(diǎn)使得與的面積相等， 　　此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為．12分