Question

已知數列{a_n}為等比數列，且a₂=6，6a₁+a₃=30．
（Ⅰ）求a_n．
（Ⅱ）設b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n，若等比數列{a_n}的公比q＞2，求數列{b_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（1）由數列{a_n}為等比數列，且a₂=6，6a₁+a₃=30，知

a1q=6 6a1+a1q2=30

，解得

a1=2 q=3

，或

a1=3 q=2

，由此能求出a_n．
（2）由等比數列{a_n}的公比q＞2，知an=2×3n-1．所以b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n=log3[(2×30)×(2×3)×(2×32)×…×(2×3n-1)]，由此能求出數列{b_n}的通項公式．

解答：解：（1）∵數列{a_n}為等比數列，且a₂=6，6a₁+a₃=30．
∴

a1q=6 6a1+a1q2=30

，
解得

a1=2 q=3

，或

a1=3 q=2

，
∴an=3×2n-1，或an=2×3n-1．
（2）∵等比數列{a_n}的公比q＞2，∴

a1=2 q=3

，an=2×3n-1．
∴b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n
=log3[(2×30)×(2×3)×(2×32)×…×(2×3n-1)]，
=log32n+log33

n(n-1)

2

=nlog₂3+

n(n-1)

2

．
∴bn=nlog32+

n(n-1)

2

．

點評：本題考查等比數列的通項公式和前n項和公式的應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意對數的性質的靈活運用．