Question

【題目】已知函數(shù) ．

（1）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）當(dāng)， 時(shí)，對(duì)任意，有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）或（2）

【解析】試題分析：（1）討論、兩種情況，分別利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，利用零點(diǎn)存在定理可得函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）對(duì)任意，有成立，等價(jià)于，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，分別求出最大值與最小值，解不等式即可的結(jié)果.

試題解析：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>．

當(dāng)時(shí)， ，所以．

①當(dāng)時(shí)， ，所以在上單調(diào)遞增，

取，則，

（或：因?yàn)?/span>且時(shí)，所以．）

因?yàn)?/span>，所以，此時(shí)函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)．

②當(dāng)時(shí)，令，解得．

當(dāng)時(shí)， ，所以在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)， ，所以在上單調(diào)遞增．

要使函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)，則即．

綜上所述，若函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn)，則或．

（2）因?yàn)閷?duì)任意，有成立，

因?yàn)?/span>，

所以．

因?yàn)?/span>，則．

所以，所以．

當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)， ，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增， ，

因?yàn)?/span>與，所以．

設(shè) ，

則．

所以在上單調(diào)遞增，故，所以．

從而 ．

所以即，

設(shè) ，則．

當(dāng)時(shí)， ，所以在上單調(diào)遞增．

又，所以，即為，解得．

因?yàn)?/span>，所以的取值范圍為．