Question

16．如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BCC₁B₁是邊長為1的正方形，A在平面BCC₁B₁的射影恰為BB₁的中點D，E為B₁C₁的中點，AD=$\frac{1}{2}$
（Ⅰ）求證：BE⊥AC；
（Ⅱ）求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積．

Answer 1

分析 （I）如圖所示，連接CD．由于A在平面BCC₁B₁的射影恰為BB₁的中點D，利用線面垂直的性質(zhì)定理可得：AD⊥BE．利用三角形全等與正方形的性質(zhì)可得：BE⊥CD．再利用線面垂直的判定定理即可得出．
（II）連接DC₁，AC₁．由（I）可得：AD⊥平面ABCD，利用面面垂直的性質(zhì)定理、線面垂直的判定定理可得：C₁B₁⊥平面ABB₁A₁，分別計算：${V}_{{C}_{1}-AD{B}_{1}{A}_{1}}$=$\frac{1}{3}•{C}_{1}{B}_{1}•{{S}_{梯形AD{B}_{1}A}}_{1}$.${V}_{A-BC{C}_{1}D}$=$\frac{1}{3}•AD•{S}_{梯形BC{C}_{1}D}$．可得三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積V=${V}_{{C}_{1}-AD{B}_{1}{A}_{1}}$+${V}_{A-BC{C}_{1}D}$．

解答 （I）證明：如圖所示，連接CD．
∵A在平面BCC₁B₁的射影恰為BB₁的中點D，
∴AD⊥平面ABCD，
∴AD⊥BE．
又E為B₁C₁的中點，
∴Rt△BCD≌Rt△B₁BE，
∴∠BCD=∠B₁BE，
∴∠BDE+∠B₁BE=90°，
∴BE⊥CD．
又AD∩CD=D，
∴BE⊥平面ACD，
∴BE⊥AC．
（II）解：連接DC₁，AC₁．
由（I）可得：AD⊥平面ABCD，
∴平面ABB₁A₁⊥BCB₁C₁，
又C₁B₁⊥BB₁，
∴C₁B₁⊥平面ABB₁A₁，
∴${V}_{{C}_{1}-AD{B}_{1}{A}_{1}}$=$\frac{1}{3}•{C}_{1}{B}_{1}•{{S}_{梯形AD{B}_{1}A}}_{1}$=$\frac{1}{3}×1×\frac{（1+\frac{1}{2}）×\frac{1}{2}}{2}$=$\frac{1}{8}$．
${V}_{A-BC{C}_{1}D}$=$\frac{1}{3}•AD•{S}_{梯形BC{C}_{1}D}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{（\frac{1}{2}+1）×1}{2}$=$\frac{1}{8}$．
∴三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積V=${V}_{{C}_{1}-AD{B}_{1}{A}_{1}}$+${V}_{A-BC{C}_{1}D}$=$\frac{1}{8}$+$\frac{1}{8}$=$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查了線面面面垂直的判定與性質(zhì)定理、三角形全等與正方形的性質(zhì)、三棱錐與三棱柱的體積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．