Question

【題目】如圖，正三角形ABC的邊長(zhǎng)為2，D，E，F(xiàn)分別在三邊AB，BC和CA上，且D為AB的中點(diǎn)，，，.

（1）當(dāng)時(shí)，求的大�。�

（2）求的面積S的最小值及使得S取最小值時(shí)的值.

Answer 1

【答案】（1）θ＝60；（2）當(dāng)θ＝45時(shí)，S取最小值.

【解析】

試題分析：本題主要考查正弦定理、直角三角形中正切的定義、兩角和的正弦公式、倍角公式、三角形面積公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力.第一問(wèn)，在中，，①，而在中，利用正弦定理，用表示DE，在中，利用正弦定理，用表示DF，代入到①式中，再利用兩角和的正弦公式展開(kāi)，解出，利用特殊角的三角函數(shù)值求角；第二問(wèn)，將第一問(wèn)得到的DF和DE代入到三角形面積公式中，利用兩角和的正弦公式和倍角公式化簡(jiǎn)表達(dá)式，利用正弦函數(shù)的有界性確定S的最小值.

在△BDE中，由正弦定理得，

在△ADF中，由正弦定理得． 4分

由tan∠DEF＝，得，整理得，

所以θ＝60． 6分

（2）S＝DE·DF＝

． 10分

當(dāng)θ＝45時(shí)，S取最小值． 12分