Question

14．一個(gè)正三棱柱的正視圖是正方形，且它的外接球的表面積等于$\frac{25π}{3}$，則這個(gè)正三棱柱的底面邊長為（　�。�

• A． 1
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\frac{5\sqrt{7}}{7}$
• D． 3

Answer 1

分析 由題設(shè)條件可得出正三棱柱的外接球半徑、底面邊長，由于其外接球的球心是棱柱上下底面的中點(diǎn)連線的中點(diǎn)Q，求出Q到棱柱頂點(diǎn)的距離即可求出球的半徑，再由球的表面積公式求出球的表面積即可選出正確選項(xiàng)

解答 解：如圖
設(shè)三棱柱的棱長為a，則它的外接球球心O到底面距離為$\frac{1}{2}a$，
由已知設(shè)球半徑為r，
∵外接球的表面積等于$\frac{25π}{3}$，
∴4πr²=$\frac{25π}{3}$，解得r²=$\frac{25}{12}$，
如圖，O′A=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，O′A²+O′O²=r²=$\frac{{a}^{2}}{3}+\frac{{a}^{2}}{4}$，
∴a²=$\frac{25}{7}$，a=$\frac{5\sqrt{7}}{7}$
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了球的內(nèi)接正三棱柱的問題；解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握幾何體的結(jié)構(gòu)特征與及球的定義，在球的內(nèi)接多面體中一般容易出現(xiàn)直角三角形，進(jìn)而利用勾股定理解決問題即可．