Question

函數(shù)f（x）=2cos²x+sin2x-1，給出下列四個(gè)命題：
①函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)；
②直線是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸；
③函數(shù)f（x）的圖象可由函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度而得到；
④若，則f（x）的值域是．
其中所有正確命題的序號(hào)是________．

Answer 1

①②④
分析：化簡(jiǎn)函數(shù)為同角同名函數(shù)，利用2cos²x-1=cos2x，sin2x+cos2x=）=sin（2x+）．再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)稱軸方程x=kπ+，k∈z；遞減區(qū)間為[2kπ+，2kπ+]，k∈z，及函數(shù)圖象的變化規(guī)律解決．
解答：首先對(duì)函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，f（x）=2cos²x+sin2x-1=sin2x+cos2x=（sin2xcos+cos2xsin）=sin（2x+）．
對(duì)①，令2x+=kπ+，得對(duì)稱軸方程x=+，k∈z，∴②正確；
對(duì)①，令2kπ+＜2x+＜2kπ+，得 kπ+＜x＜kπ+，k∈z．函數(shù)的遞減區(qū)間為[kπ+，kπ+]，k∈z，∴①√；
對(duì)③，平移的單位應(yīng)是，∴③×．
對(duì)④，當(dāng)x∈[0，]時(shí)f（x）單調(diào)遞增，當(dāng)x∈[，]時(shí)單調(diào)遞減，f（）=，f（）=-1∴值域是[-1，]，∴④√．
故答案是①②④
點(diǎn)評(píng)：牢記三角函數(shù)的性質(zhì)及圖象變化規(guī)律，利用整體代入求解復(fù)合函數(shù)的對(duì)稱軸、單調(diào)區(qū)間、值域是本題的關(guān)鍵．