Question

19．對(duì)于函數(shù)f（x）=tanx在定義域（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）中的任意x₁，x₂有以下結(jié)論：
①f（x+π）=f（x）
②f（-x）=f（x）
③f（0）=1
④f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）＞$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$
⑤$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{{x}_{1}+{x}_{2}}$＞0
以上結(jié)論正確的有①⑤．

Answer 1

分析 由正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)，逐個(gè)選項(xiàng)驗(yàn)證可得．

解答 解：∵正切函數(shù)的周期為π，∴①f（x+π）=f（x）正確；
∵正切函數(shù)的周期為奇函數(shù)，∴②f（-x）=f（x）錯(cuò)誤；
計(jì)算可得f（0）=tan0=0≠1，故③錯(cuò)誤；
由正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得當(dāng)x₁，x₂∈（-$\frac{π}{2}$，0）時(shí)，有f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）＞$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$；
但當(dāng)當(dāng)x₁，x₂∈（0，$\frac{π}{2}$）時(shí)，有f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）＜$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$，故④錯(cuò)誤；
⑤由正切函數(shù)在（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）單調(diào)遞增可知對(duì)（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）中的任意x₁，x₂有$\frac{f（{x}_{1}）-f（-{x}_{2}）}{{x}_{1}-（-{x}_{2}）}$＞0成立，
再由正切函數(shù)為奇函數(shù)可得$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{{x}_{1}+{x}_{2}}$＞0，故⑤正確．
故答案為：①⑤

點(diǎn)評(píng) 本題考查正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬中檔題．