Question

（本題滿分12分）如圖，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC=BC=EB=2DC=2，∠ACB=120°，P,Q分別為AE,AB的中點．

（1）證明：PQ∥平面ACD；

（2）求AD與平面ABE所成角的正弦值．

Answer 1

（1）見解析；（2）

【解析】

試題分析：（1）證明：因為P，Q分別為AE，AB的中點，

所以PQ∥EB．又DC∥EB，因此PQ∥DC，

又PQ?平面ACD，

從而PQ∥平面ACD．

（2）如圖，

連接CQ，DP，因為Q為AB的中點，且AC＝BC，所以CQ⊥AB．

因為DC⊥平面ABC，

EB∥DC，

所以EB⊥平面ABC，因此CQ⊥EB．[來

故CQ⊥平面ABE．

由（1）有PQ∥DC，又PQ＝EB＝DC，

所以四邊形CQPD為平行四邊形，故DP∥CQ．

因此DP⊥平面ABE，∠DAP為AD和平面ABE所成的角，

在Rt△DPA中，AD＝，DP＝1，

sin∠DAP＝，

因此AD和平面ABE所成角的正弦值為．

考點：本題考查集合的交集，并集的運算，集合與集合的關(guān)系