Question

18．已知球面上有A、B、C三點，BC=2$\sqrt{3}$，AB=AC=2，若球的表面積為20π，則球心到平面ABC的距離為（　�。�

• A． 1
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 由已知中球的表面積為20π，我們可以求出球半徑R，再由△ABC中，AB=AC=2，BC=2$\sqrt{3}$，解三角形我們可以求出△ABC所在平面截球所得圓（即△ABC的外接圓半徑），然后根據(jù)球心距d，球半徑R，截面圓半徑r，構(gòu)造直角三角形，滿足勾股定理，我們即可求出球心到平面ABC的距離．

解答 解：∵球的表面積為20π，S=4πR²，
∴球的半徑R=$\sqrt{5}$
∵又AB=AC=2，BC=2$\sqrt{3}$，
由余弦定理得cosA=$\frac{{c}^{2}+^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{4+4-12}{2×2×2}$=-$\frac{1}{2}$，
則sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
則△ABC的外接圓半徑2r=$\frac{a}{sinA}$=$\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=4，
則r=2，
則球心到平面ABC的距離d=$\sqrt{{R}^{2}-{r}^{2}}$=$\sqrt{5-4}$=1，
故選：A．

點評 本題考查的知識點是空間點、線、面之間的距離計算，其中根據(jù)球心距d，球半徑R，截面圓半徑r，構(gòu)造直角三角形，滿足勾股定理，是與球相關(guān)的距離問題常用方法．