Question

已知數(shù)列{a_n}滿足條件：a₁=1，a₂=r（r＞0），且{a_na_n+1}是公比為q（q＞0）的等比數(shù)列，設(shè)b_n=a_2n-1+a_2n（n=1，2，…）．
（1）求出使不等式a_na_n+1+a_n+1a_n+2＞a_n+2a_n+3（n∈N^*）成立的q的取值范圍；
（2）求b_n和

lim

n→∞

1

Sn

，其中S_n=b₁+b₂+…+b_n；
（3）設(shè)r=2^19.2-1，q=

1

2

，求數(shù)列{

log2bn+1

log2bn

}的最大項和最小項的值．

Answer 1

分析：（1）利用數(shù)列{a_n}滿足條件：a₁=1，a₂=r（r＞0），且{a_na_n+1}是公比為q（q＞0）的等比數(shù)列，可得公比的不等式，故可求q的取值范圍；
（2）先考慮相鄰項的關(guān)系，可知比值為常數(shù)，故可知數(shù)列是等比數(shù)列，由于公比不定，故要進行分類討論；
（3）先求數(shù)列{

log2bn+1

log2bn

}的通項，再利用單調(diào)性，研究其最值．

解答：解：（1）由題意得rq^n-1+rqⁿ＞rqⁿ⁺¹  
由題設(shè)r＞0，q＞0，故從上式可得   q²-q-1＜0，
∵q＞0，故0＜q＜

1+ 5

2

（2）∵b₁=1+r≠0，所以{b_n}是首項為1+r，公比為q的等比數(shù)列，從而b_n=（1+r）q^n-1  
當(dāng)q=1時，S_n=n（1+r），

lim

n→∞

1

Sn

=0；
    當(dāng)0＜q＜1時

lim

n→∞

1

Sn

=

1-q

1+r

     當(dāng)q＞1時，

lim

n→∞

1

Sn

=0；
∴bn=(1+r)qn-1，

lim

x→∞

1

sn

=

1-q 1+r 0＜q＜1 0q≥1

（3）從上式可知，設(shè)f（n）=

log2bn+1

log2bn

=1+

1

n-20.2

當(dāng)n＞21時，f（n）遞減，∴f（n）≤f（21），∴f（n）_max=2 25；
當(dāng)n≤20時，f（n）遞減，∴f（n）≥f（20），f（n）_min=-4
∴當(dāng)n=21時，數(shù)列{

log2bn+1

log2bn

}有最大值2 25；當(dāng)n=20時，數(shù)列{

log2bn+1

log2bn

}有最小值-4．

點評：本題以等比數(shù)列為依托，考查數(shù)列的進行，考查數(shù)列中的最大與最小項，綜合性強，有難度．