Question

14．一位網(wǎng)民在網(wǎng)上光顧某網(wǎng)店，經(jīng)過一番瀏覽后，對該店鋪中的A，B，C三種商品有購買意向．已知該網(wǎng)民購買A種商品的概率為$\frac{3}{4}$，購買B種商品的槪率為$\frac{2}{3}$，購買C種商品的概率為$\frac{1}{2}$．假設(shè)該網(wǎng)民是否購買這三種商品相互獨立
（1）求該網(wǎng)民至少購買2種商品的概率；
（2）用隨機變量η表示該網(wǎng)民購買商品的種數(shù)，求η的槪率分布和數(shù)學期望．

Answer 1

分析 （1）記“記網(wǎng)民購買i種商品”為事件A_i，i=2，3，分別求出P（A₃）和P（A₂），由此能求出該網(wǎng)民至少購買2種商品的概率．
（2）隨機變量η的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應的概率，由此能求出隨機變量η的分布列和Eη．

解答 解：（1）記“記網(wǎng)民購買i種商品”為事件A_i，i=2，3，
則P（A₃）=$\frac{3}{4}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$，
P（A₂）=$\frac{3}{4}×\frac{2}{3}×（1-\frac{1}{2}）+\frac{3}{4}×（1-\frac{2}{3}）×\frac{1}{2}$+$（1-\frac{3}{4}）×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}$=$\frac{11}{24}$，
∴該網(wǎng)民至少購買2種商品的概率：
p=p（A₁）+P（A₂）=$\frac{1}{4}+\frac{11}{24}$=$\frac{17}{24}$．
（2）隨機變量η的可能取值為0，1，2，3，
P（η=0）=（1-$\frac{3}{4}$）×（1-$\frac{2}{3}$）×（1-$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{24}$，
P（η=2）=P（A₂）=$\frac{11}{24}$，
P（η=3）=P（A₃）=$\frac{1}{4}$，
∴P（η=1）=1-$\frac{1}{24}-\frac{11}{24}-\frac{1}{4}$=$\frac{1}{4}$，
∴隨機變量η的分布列為：

η	0	1	2	3
P	$\frac{1}{24}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{11}{24}$	$\frac{1}{4}$

Eη=$0×\frac{1}{24}+1×\frac{1}{4}+2×\frac{11}{24}+3×\frac{1}{4}$=$\frac{23}{12}$．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，互斥事件概率加法公式的合理運用．