Question

【題目】已知直線l的參數(shù)方程為 （t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ，直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)．
（1）求圓C的直角坐標(biāo)方程及弦AB的長；
（2）動點(diǎn)P在圓C上（不與A，B重合），試求△ABP的面積的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由ρ=4cosθ得ρ2=4ρcosθ，

所以x2+y2﹣4x=0，所以圓C的直角坐標(biāo)方程為（x﹣2）2+y2=4．

將直線l的參數(shù)方程代入圓C：（x﹣2）2+y2=4，并整理得 ，

解得t1=0， ．

所以直線l被圓C截得的弦長為

（2）

解：直線l的普通方程為x﹣y﹣4=0．

圓C的參數(shù)方程為 （θ為參數(shù)），

可設(shè)曲線C上的動點(diǎn)P（2+2cosθ，2sinθ），

則點(diǎn)P到直線l的距離 = ，

當(dāng) 時(shí)，d取最大值，且d的最大值為 ．

所以 ，

即△ABP的面積的最大值為

【解析】（1）根據(jù)極坐標(biāo)以及直角坐標(biāo)方程的關(guān)系求出圓C的直角坐標(biāo)方程即可，聯(lián)立直線的參數(shù)方程和圓的方程，求出弦長即可；（2）求出直線的普通方程以及圓的參數(shù)方程，可設(shè)曲線C上的動點(diǎn)P（2+2cosθ，2sinθ），求出點(diǎn)P到直線l的距離，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求出△ABP的面積的最大值．