Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系 中，過(guò)橢圓 右焦點(diǎn) 的直線交橢圓于兩點(diǎn) ， 為 的中點(diǎn)，且 的斜率為 .

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)過(guò)點(diǎn) 的直線 （不與坐標(biāo)軸垂直）與橢圓交于 兩點(diǎn)，問(wèn)：在 軸上是否存在定點(diǎn) ，使得 為定值？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為 時(shí)， 為定值.

【解析】試題分析：

(1)利用題意結(jié)合幾何關(guān)系可求得 ，所以橢圓 的方程為

(2)設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，整理可得當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為 時(shí)， 為定值.

試題解析：

解：(1) 設(shè) ,則 ，兩式相減得，

，又 ， 為的中點(diǎn)，且 的斜率為 ，所以 ，即 ，所以可以解得 ，即 ，即 ，又因?yàn)?/span> ，所以橢圓 的方程為 .

(2) 設(shè)直線的方程為 ，代入橢圓 的方程為，得 ，設(shè) ，則 .

，根據(jù)題意，假設(shè)軸上存在定點(diǎn) ，使得 為定值，則有

，要使上式為定值，即與 無(wú)關(guān)，則應(yīng) ，即 ，故當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為 時(shí)， 為定值.