Question

7．若向量$\overrightarrow{a}$=（2，1）和$\overrightarrow$=（x-1，y）垂直，則|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$|的最小值為$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 由已知向量垂直得到數量積為0，由此得到x，y的等式，用，x，y表示|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$|，求最小值．

解答 解：因為向量$\overrightarrow{a}$=（2，1）和$\overrightarrow$=（x-1，y）垂直，所以2x-2+y=0，
所以$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$=（x+1，y+1），|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$|²=（x+1）²+（y+1）²，|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$|=$\sqrt{（x+1）^{2}+（y+1）^{2}}$表示（-1，-1）到直線上點的距離，
所以|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$|的最小值為$\frac{|-2-2-1|}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$；
故答案為：$\sqrt{5}$．

點評 本題考查了向量垂直的性質以及向量模的求法；本題利用了點到直線的距離求最小值．