Question

已知定義域為R的函數f（x）=

b-2x

2x+a

是奇函數．
（1）求a，b的值；
（2）若對于任意t∈（2，3），不等式f（kt²-2t）+f（1-t）＜0恒成立，求k的范圍．

Answer 1

分析：（1）利用奇函數的定義，建立等式，即可求a，b的值；
（2）求得函數的單調性，將不等式化為具體不等式，利用分離參數法，即可求k的范圍．

解答：解：（1）∵定義域為R的函數f（x）=

b-2x

2x+a

是奇函數，
∴f（-x）=-f（x），即

b-2-x

2-x+a

=-

b-2x

2x+a

∴

b•2x-1

1+a•2x

=-

b-2x

2x+a

解得a=1，b=1．                     …（4分）
（2）由（1）知，f（x）=

1-2x

2x+1

=-1+

2

2x+1

∴f（x）為R上的減函數          …（7分）
∵對于任意t∈（2，3），不等式f（kt²-2t）+f（1-t）＜0恒成立，
∴f（kt²-2t）＜-f（1-t）=f（t-1）
∴kt²-2t＞t-1，∴k＞

3t-1

t2

對于任意t∈（2，3）恒成立，
∵

3t-1

t2

=-(

1

t

-

3

2

)2+

8

4

，

1

t

∈(

1

3

，

1

2

)
∴

3t-1

t2

∈（

8

9

，

5

4

）
∴k≥

5

4

…（12分）

點評：本題考查函數的奇偶性，考查恒成立問題，解題的關鍵是確定函數的單調性，利用分離參數法，屬于中檔題．