Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，經(jīng)過點(diǎn)(0，)且斜率為k的直線l與橢圓＋y²＝1有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q.

(1)求k的取值范圍；

(2)設(shè)橢圓與x軸正半軸、y軸正半軸的交點(diǎn)分別為A，B，是否存在常數(shù)k，使得向量＋與共線？如果存在，求出k值；如果不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

(1)由已知條件，直線l的方程為y＝kx＋，

代入橢圓方程得＋(kx＋)²＝1.

整理得(＋k²)x²＋2kx＋1＝0                              ①

直線l與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q等價(jià)于

Δ＝8k²－4(＋k²)＝4k²－2>0，

解得k<－或k>，即k的取值范圍為

(－∞，－)∪(，＋∞)，

(2)設(shè)P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，則

＋＝(x₁＋x₂，y₁＋y₂)，

由方程①，x₁＋x₂＝－.                                  ②

又y₁＋y₂＝k(x₁＋x₂)＋2.                                   ③

而A(，0)，B(0,1)，＝(－，1).

所以＋與共線等價(jià)于x₁＋x₂＝－(y₁＋y₂)，

將②③代入上式，解得k＝.

由(1)知k<－或k>，故沒有符合題意的常數(shù)k.