Question

（1）判斷函數f（x）=在x∈（0，+∞）上的單調性并證明你的結論？
（2）猜想函數在x∈（-∞，0）∪（0，+∞）上的單調性？（只需寫出結論，不用證明）
（3）利用題（2）的結論，求使不等式在x∈[1，5]上恒成立時的實數m的取值范圍？

Answer 1

【答案】分析：（1）函數f（x）=在（0，2]上是減函數，在[2，+∞）上是增函數，再利用單調性的定義進行證明即可；
（2）由上及f（x）是奇函數，可猜想：f（x）在和上是增函數，f（x）在和上是減函數   
（3）根據在x∈[1，5]上恒成立，可得在x∈[1，5]上恒成立   求出左邊函數的最小值即可．
解答：（1）解：函數f（x）=在（0，2]上是減函數，在[2，+∞）上是增函數．…（1分）
證明：設任意x₁＜x₂∈（0，+∞），則…（2分）
=                                    …（3分）
又設x₁＜x₂∈（0，2]，則f（x₁）-f（x₂）＞0，∴f（x₁）＞f（x₂）
∴函數f（x）=在（0，2]上是減函數                     …（4分）
又設x₁＜x₂∈[2，+∞），則f（x₁）-f（x₂）＜0，∴f（x₁）＜f（x₂）
∴函數f（x）=在[2，+∞）上是增函數                        …（5分）
（2）解：由上及f（x）是奇函數，可猜想：f（x）在和上是增函數，f（x）在和上是減函數                   …（7分）
（3）解：∵在x∈[1，5]上恒成立
∴在x∈[1，5]上恒成立         …（8分）
由（2）中結論，可知函數在x∈[1，5]上的最大值為10，
此時x=1                                    …（10分）
要使原命題成立，當且僅當2m²-m＞10
∴2m²-m-10＞0  解得m＜-2，或
∴實數m的取值范圍是{m|m＜-2，或}    …（12分）
點評：本題重點考查函數的單調性的判定與證明，考查恒成立問題，解題的關鍵是利用單調性的定義，利用函數的最值解決恒成立問題．