Question

已知定義在R上的函數f（x）滿足f（log₂x）=x+

a

x

，a為常數．
（1）求函數f（x）的表達式；
（2）如果f（x）為偶函數，求a的值；
（3）如果f（x）為偶函數，用函數單調性的定義討論f（x）的單調性．

Answer 1

考點：函數奇偶性的性質,函數解析式的求解及常用方法,函數單調性的判斷與證明

專題：函數的性質及應用

分析：（1）利用換元法求函數f（x）的表達式；
（2）利用f（-x）=f（x）恒成立，依此可構造出a的方程，解之即可；
（3）遵循“取值、作差、判斷符號下結論”的步驟證明單調性．

解答： 解：（1）令log₂x=t，則x=2^t．
∴f（t）=2^t+

a

2t

．
∴f（x）=2^x+

a

2x

（x∈R）．
（2）由f（-x）=f（x），則2^-x+

a

2-x

=2^x+

a

2x

對任意的x∈R恒成立，
化簡得（2^x-2^-x）（1-a）=0對x∈R均成立．
∴1-a=0，即a=1．
（3）當a=1時，f（x）=2^x+

1

2x

，
設0≤x₁＜x₂，則
f（x₁）-f（x₂）=2x1+

1

2x1

-（2x2+

1

2x2

）
=（2x1-2x2）（1-

1

2x1+x2

），
∵2x1-2x2＜0，1-

1

2x1+x2

＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0．
即f（x₁）＜f（x₂）．
因此f（x）在區(qū)間[0，+∞）上是增函數．
同理當x₁＜x₂＜0時，
f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x）在區(qū)間（-∞，0）上是減函數．

點評：本題考查利用函數的奇偶性求待定系數的值以及利用函數單調性的定義如何證明函數的單調性．