Question

甲、乙兩人參加某電視臺(tái)舉辦的答題闖關(guān)游戲，按照規(guī)則，甲先從6道備選題中一次性抽取3道題獨(dú)立作答，然后由乙回答剩余3題，每人答對(duì)其中2題就停止答題，即闖關(guān)成功．已知在6道被選題中，甲能答對(duì)其中的4道題，乙答對(duì)每道題的概率都是

2

3

．
（Ⅰ）求甲、乙至少有一人闖關(guān)成功的概率；
（Ⅱ）設(shè)甲答對(duì)題目的個(gè)數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（I）由于闖關(guān)游戲規(guī)則規(guī)定甲先從6道備選題中一次性抽取3道題獨(dú)立作答，然后由乙回答剩余3題，每人答對(duì)其中2題就停止答題，即闖關(guān)成功，所以可以設(shè)甲、乙闖關(guān)成功分別為事件A、B，利用對(duì)立事件的定義求出甲、乙至少有一人闖關(guān)成功的概率；
（II）由于甲答對(duì)題目的個(gè)數(shù)為X，由題意則X的可能取值是1，2，利用隨機(jī)變量的定義及分布列定義即可求出期望值．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)甲、乙闖關(guān)成功分別為事件A、B，
則P(

.

A

)=

C 1 4 • C 2 2

C 3 6

=

4

20

=

1

5

，
P(

.

B

)=(1-

2

3

)3+

C

2 3

2

3

(1-

2

3

)2=

1

27

+

2

9

=

7

27

，
則甲、乙至少有一人闖關(guān)成功的概率是1-P(

.

A

•

.

B

)=1-P(

.

A

)•P(

.

B

)=1-

1

5

×

7

27

=

128

135

．

（Ⅱ）因?yàn)榧啄艽饘?duì)4道題，所以無(wú)論怎么選3道題甲至少答對(duì)1道題．
        所以ξ=1，2，3
        P（ξ=1）=（2C2*4C1）/6C3=4/20
        P（ξ=2）=（2C1*4C2）/6C3=12/20
        P（ξ=3）=（2C0*4C3）/6C3=4/20
       由題知X的可能取值是1，2．
P(X=1)=

C 1 4 C 2 2

C 3 6

=

1

5

，P(X=2)=

C 2 4 C 1 2 + C 3 4

C 3 6

=

4

5

，
則X的分布列為

X	1	2
P	1 5	4 5

∴EX=1×

1

5

+2×

4

5

=

9

5

．

點(diǎn)評(píng)：此題重在考查學(xué)生對(duì)于題意的正確理解，還考查了隨機(jī)變量的定義及隨機(jī)變量的分布列，另外還考查了期望與古典概率及獨(dú)立事件的概率公式．