Question

如圖所示，已知橢圓C₁和拋物線C₂有公共焦點F（1，0），C₁的中心和C₂的頂點都在坐標原點，過點M（4，0）的直線l與拋物線C₂分別相交于A，B兩點．
（Ⅰ）寫出拋物線C₂的標準方程；
（Ⅱ）求證：以AB為直徑的圓過原點；
（Ⅲ）若坐標原點關(guān)于直線l的對稱點P在拋物線C₂上，直線l與橢圓C₁相切，求橢圓C₁的標準方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）設(shè)出拋物線C₂的標準方程，利用焦點F（1，0），即可得出結(jié)論；
（Ⅱ）設(shè)AB：x=4+ny，代入拋物線方程，證明

OA

•

OB

=0，即可得出結(jié)論；
（Ⅲ）P（4t²，4t），則OP⊥l，且OP的中點（2t²，2t）在直線l上，直線方程代入橢圓方程，利用△=0，可得結(jié)論．

解答： （Ⅰ）解：拋物線C₂的標準方程為：y²=2px，
∵焦點F（1，0），
∴p=2
∴拋物線C₂的標準方程為y²=4x；
（Ⅱ）證明：設(shè)AB：x=4+ny，代入拋物線方程得y²-4ny-16=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁y₂=-16，x₁x₂=

y12y22

16

=16，
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=0，
∴以AB為直徑的圓過原點；
（Ⅲ）解：設(shè)P（4t²，4t），則OP⊥l，且OP的中點（2t²，2t）在直線l上，
∴

2t2=4+2nt 4t 4t2 =-n

，∴n=±1，
由

b2x2+a2y2=a2b2 x=4+ny

，得（b²n²+a²）y²+8b²ny+b²（16-a²）=0，
由△=0，可得a²+b²=16，
∵a²=b²+1，
∴a2=

17

2

，b2=

15

2

，
∴橢圓C₁的標準方程為

2x2

17

+

2y2

15

=1．

點評：本題考查拋物線的標準方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．