Question

某學校餐廳為了保證每天供應1000名學生用餐，每星期一都提供有A、B兩種菜可供學生選擇（每個學生都將從二種中選一種），經調查，凡是在本周星期一選A菜的，下周星期一會有20%改選B，而選B菜的，下周星期一則有30%改選A．用a_n、b_n分別表示在第n個星期一選A、B菜的人數（a₁、b₁表示本周星期一選A菜人數），若a₁=200．
（1）試以a_n表示a_n+1；
（2）證明：{a_n}的通項公式是；
（3）試問從第幾個星期一開始，選A人數超過選B的人數？

Answer 1

（1）解：由題可知，∵在本周星期一選A菜的，下周星期一會有20%改選B，而選B菜的，下周星期一則有30%改選A，
∴a_n+1=a_n•（1-0.2）+0.3•b_n，
又a_n+b_n=1000，所以整理得：…（4分）
（2）證明：∵a₁=200，且
∴
即{a_n-600}可以看成是首項為-400，公比為的等比數列．
∴…（9分）
（3）解：由a_n+b_n=1000，a_n＞b_n得a_n＞500
又，∴，即 n＞3
答：從第4個星期一開始，選A人數超過選B人數．…（13分）
分析：（1）根據在本周星期一選A菜的，下周星期一會有20%改選B，而選B菜的，下周星期一則有30%改選A，結合a_n+b_n=1000，即可以a_n表示a_n+1；
（2）確定{a_n-600}可以看成是首項為-400，公比為的等比數列，即可證得結論；
（3）由a_n+b_n=1000，a_n＞b_n得a_n＞500，結合（2）的結論，即可求出結論．
點評：本題考查數列的應用，考查求數列的通項，解題的關鍵是確定數列遞推式，從而確定數列的通項．