Question

在Rt△ABC內有一內接正方形，它的一條邊在斜邊BC上，如圖所示．
（1）設AB=a，∠ABC=θ，求Rt△ABC的面積P和正方形的面積Q
（2）當θ變化時，求

P

Q

的最小值．

Answer 1

分析：（1）設正方形邊長為x，求出BC=

a

cosθ

，AC=atanθ，x，即可求出三角形ABC的面積P，正方形的面積Q．
（2）利用（1）推出

P

Q

的表達式，利用函數(shù)的單調性，求出比值的最小值．

解答：解：（1）設正方形邊長為x
AB=a，∠ABC=θ
BC=

a

cosθ

，AC=atanθ
BD=xcotθ，EC=xtanθ
BC=

a

cosθ

=BD+DE+EC=x+xcotθ+xtanθ
x=

a

(1+cotθ+tanθ)cosθ

=

asinθ

sinθcosθ+1

三角形ABC的面積P=

1

2

AB×AC=

1

2

a²tanθ
正方形的面積 Q=x²=(

asinθ

sinθcosθ+1

)2．
（2）

P

Q

=

1

2

×

a2tanθ

( asinθ sinθcosθ+1 )2

=

1

2sinθcosθ

+

1

2

sinθcosθ+1
∵sinθ＞0，cosθ＞0
令：t=sin2θ
∵0＜θ＜

π

2

∴t∈（0，1]∴

P

Q

=1+

1

t

+

t

4

，函數(shù)在（0，1]遞減
∴y_min=

9

4

（當且僅當t=1即θ=

π

4

時成立）
∴當θ=

π

4

時，

P

Q

的最小值為

9

4

．

點評：本題考查三角函數(shù)的基本關系式，函數(shù)單調性的應用，考查計算能力．