Question

3．已知不等式x²-5ax+b＞0的解集為{x|x＞4或x＜1}．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a，b的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的情況下，若函數(shù)f（x）=ax+$\frac{bx+4}{2（x-1）}$（x＞1），求f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可得1和4是方程x²-5ax+b=0的兩根，運(yùn)用韋達(dá)定理，即可得到所求值；
（Ⅱ）化簡變形函數(shù)f（x）=x+$\frac{2x+2}{x-1}$=（x-1）+$\frac{4}{x-1}$+3，運(yùn)用基本不等式即可得到所求最小值．

解答 解：（Ⅰ）由題意可得1和4是方程x²-5ax+b=0的兩根，
即有1+4=5a，1×4=b，解得a=1，b=4；
（Ⅱ）函數(shù)f（x）=ax+$\frac{bx+4}{2（x-1）}$（x＞1）
=x+$\frac{2x+2}{x-1}$=（x-1）+$\frac{4}{x-1}$+3≥2$\sqrt{（x-1）•\frac{4}{x-1}}$+3=7，
當(dāng)且僅當(dāng)x-1=2即x=3時(shí)，取得最小值7．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的解法，注意運(yùn)用韋達(dá)定理求出系數(shù)，考查函數(shù)的最值的求法，注意運(yùn)用變形和基本不等式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．