Question

若函數y=f（x）（x∈D）同時滿足以下條件：
①它在定義域D上是單調函數；
②存在區(qū)間[a，b]?D使得f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]，我們將這樣的函數稱作“A類函數”．
（1）已知函數f（x）=2x-2^x．x∈（0，+∞），求證：f（1）=f（2）；
（2）函數f（x）=2x-2^x．x∈（0，+∞）是不是“A類函數”？如果是，試找出[a，b]；如果不是，試說明理由；
（3）求使得函數f（x）=12x-kx+1，x∈（0，+∞）是“A類函數”的常數k的取值范圍．

Answer 1

考點：函數與方程的綜合運用

專題：創(chuàng)新題型

分析：（1）根據函數解析式求f（1）與f（2）的值，判斷相等還是不相等．
 （2）根據f（1）與f（2）值判斷函數在（0，+∞）不是單調函數，即可判斷函數不是“A類函數”（3）當k＜0時，在（0，+∞）上不是單調函數，所以不是“A類函數”，
當k≥0時在（0，+∞）上是單調遞增函數，如果是“A類函數”則f（x）=x在（0，+∞）上有兩個不等根，構造函數求出k的范圍．

解答： 解：（1）∵函數f（x）=2x-2^x．x∈（0，+∞），f（1）=0，f（2）=0∴f（1）=f（2）
（2）根據（1）問可以知道不是單調函數，f（x）不是“A類函數”
（3）當k＜0時，在（0，+∞）上不是單調函數，所以不是“A類函數”，當k≥0時在（0，+∞）上是單調遞增函數，因為f（x）是A類函數，所以方程f（x）=x在（0，+∞）上有兩個不等實根．
化簡得：k=-

1

2

x²+x，x∈（0，+∞），
令g（x）=-

1

2

x²+x，x∈（0，+∞），y=k，據兩個圖象有兩個交點，f（1）=

1

2

所以k的范圍為（0，

1

2

），

點評：本題是一道新概念題，做著這道題只要抓住它的兩個條件，結合函數的圖象和性質就很容易能夠解決．