Question

圓C：(x-1)²+(y-2)²＝25，直線l：(2m+1)x+(m+1)y-7m-4＝0(m∈R).

(1)證明：不論m取什么實(shí)數(shù)，直線l與圓C恒交于兩點(diǎn)；

(2)求直線l被圓C截得的線段的最短長(zhǎng)度.并求此時(shí)m的值.

Answer 1

【探究】  說明直線與圓恒相交，只要說明直線恒過圓內(nèi)一點(diǎn)，所以求出直線l所過的定點(diǎn)，此定點(diǎn)在圓內(nèi)，問題1即得證；直線被圓截得的弦中最短的一條就是過定點(diǎn)且與過定點(diǎn)的直徑垂直的弦，其斜率可由直徑的斜率求得.

(1)證明：直線方程可化為(2x+y-7)m+(x+y-4)=0，m∈R，這表明此直線經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)，由得定點(diǎn)坐標(biāo)為A(3，1).

又(3-1)²+(1-2)²＜25，所以點(diǎn)A在圓內(nèi)，直線l一定與圓有兩個(gè)交點(diǎn).

(2)解：結(jié)合圖象，當(dāng)圓心與點(diǎn)A的連線與過A的弦垂直時(shí)，截得的弦長(zhǎng)最短，

，解得m=.

【規(guī)律總結(jié)】 證明直線與圓恒相交，一是可以將直線與圓的方程聯(lián)立得方程組，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為一元二次方程，若Δ＞0，則說明方程組有兩解，也說明直線與圓相交，這是一種通用方法，但過程煩瑣，計(jì)算量大；二是說明直線過圓內(nèi)一點(diǎn)，由此直線與圓必相交.對(duì)于圓中過點(diǎn)A的弦，以直徑為最長(zhǎng)，過A與此直徑垂直的弦為最短.