Question

1．在數(shù)列{a_n}中，${a_1}=1，{a_{n+1}}=2{a_n}+1\;（n∈{N^+}）$．
（Ⅰ）證明數(shù)列{a_n+1}成等比數(shù)列，并求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）令b_n=（2n+1）（a_n+1），求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過對a_n+1=2a_n+1變形可知a_n+1+1=2（a_n+1），進(jìn)而可知數(shù)列{a_n+1}是首項(xiàng)、公比均為1的等比數(shù)列，計(jì)算即得結(jié)論；
（Ⅱ）通過（I）可知b_n=（2n+1）•2ⁿ，利用錯位相減法計(jì)算即得結(jié)論．

解答 （Ⅰ）證明：∵a_n+1=2a_n+1，
∴a_n+1+1=2（a_n+1），
又∵a₁+1=1+1=2，
∴數(shù)列{a_n+1}是首項(xiàng)、公比均為1的等比數(shù)列，
∴a_n+1=2ⁿ，a_n=-1+2ⁿ；
（Ⅱ）解：由（I）可知b_n=（2n+1）（a_n+1）=（2n+1）•2ⁿ，
則S_n=3•2¹+5•2²+…+（2n+1）•2ⁿ，
2S_n=3•2²+5•2³+…+（2n+1）•2ⁿ⁺¹，
兩式相減得：-S_n=3•2¹+2（2²+2³+…+2ⁿ）-（2n+1）•2ⁿ⁺¹
=3•2¹+2•$\frac{4（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-（2n+1）•2ⁿ⁺¹
=-2-（2n-1）•2ⁿ⁺¹，
∴S_n=2+（2n-1）•2ⁿ⁺¹．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查錯位相減法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．