Question

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且A，B，C成等差數列．
（1）若b=2

3

，c=2，求△ABC的面積；
（2）若sinA，sinB，sinC成等比數列，試判斷△ABC的形狀．

Answer 1

分析：（1）根據A、B、C成等差數列，結合A+B+C=π算出B=

π

3

，再由正弦定理得sinC=

c

b

sinB=

1

2

．根據b＞c得C為銳角，得到C=

π

6

，從而A=π-B-C=

π

2

，△ABC是直角三角形，由此不難求出它的面積；
（2）根據正弦定理，結合題意得b²=ac，根據B=

π

3

利用余弦定理，得b²=a²+c²-ac，從而得到a²+c²-ac=ac，整理得得（a-c）²=0，由此即可得到△ABC為等邊三角形．

解答：解：解：∵A、B、C成等差數列，可得2B=A+C．
∴結合A+B+C=π，可得B=

π

3

．
（1）∵b=2

3

，c=2，
∴由正弦定理

b

sinB

=

c

sinC

，得sinC=

c

b

sinB=

2

2 3

×sin

π

3

=

1

2

．
∵b＞c，可得B＞C，∴C為銳角，得C=

π

6

，從而A=π-B-C=

π

2

．
因此，△ABC的面積為S=

1

2

bc=

1

2

×2

3

×2=2

3

．
（2）∵sinA、sinB、sinC成等比數列，即sin²B=sinAsinC．
∴由正弦定理，得b²=ac
又∵根據余弦定理，得b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac，
∴a²+c²-ac=ac，整理得（a-c）²=0，可得a=c
∵B=

π

3

，∴A=C=

π

3

，可得△ABC為等邊三角形．

點評：本題給出三角形的三個內角成等差數列，在已知兩邊的情況下求面積，并且在邊成等比的情況下判斷三角形的形狀．著重考查了三角形內角和定理和利用正、余弦定理解三角形的知識，屬于中檔題．