Question

定義：若對(duì)于給定區(qū)間D內(nèi)任意的實(shí)數(shù)x₁和x₂都有f()≥[f(x₁)+f(x₂)]，則稱函數(shù)f(x)是區(qū)間D上的上凸函數(shù)。上凸函數(shù)有如下的性質(zhì)：

若在上凸函數(shù)f(x)的圖象上依次取n個(gè)(n≥3)點(diǎn)P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n），則凸n邊到P₁P₂P₃…P_n的生心G（，）必在函數(shù)y=f(x)的圖象下方或圖象上。

運(yùn)用上述定義或性質(zhì)證明。

（1）f(x)=lgx在區(qū)間（0，+∞）上是上凸函數(shù)；

（2）設(shè)x₁，x₂，…，x_n為正實(shí)數(shù)，則≥。

Answer 1

答案：
解析：

證明：（1）設(shè)x1，x2，…，xn為正實(shí)數(shù)，則 f()－[f(x1)+f(x2)] =1g－(1gx1+1gx2) =1g－1g =1g ∵x1，x2，…，xn為正實(shí)數(shù)， ∴x1+x2≥2，即≥1。 又y=f(x)在（0，+∞）上是增函數(shù)，∴l(xiāng)g()≥0， ∴f()≥[f(x1)+f(x2)]， 根據(jù)定義，函數(shù)y=1gx是區(qū)間（0，+∞）上的上凸函數(shù)。 （2）由（1）知，f(x)=1gx在區(qū)間（0，+∞）上是上凸函數(shù)。 設(shè)P1（x1，y1），P2（x2，y2），…，Pn（xn，yn），依次是上凸y=1gx上的n個(gè)（n≥3）點(diǎn)，根據(jù)上凸函數(shù)的性質(zhì)，有 f()≥[f(x1)+f(x2)+…+f(xn)]， 即1g≥1g(x1x2…xn)， 亦即1g≥1g。 因?yàn)閥=1gx在（0，+∞）上是增函數(shù)， 所以≥。