Question

17．如圖，長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=16，BC=10，AA₁=8，點E，F(xiàn)分別在A₁B₁，D₁C₁上，A₁E=D₁F=4．過E，F(xiàn)的平面α與此長方體的面相交，交線圍成一個正方形
（Ⅰ）在圖中畫出這個正方形（不必說出畫法和理由）
（Ⅱ）求平面α把該長方體分成的兩部分體積的比值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用平面與平面平行的性質(zhì)，可在圖中畫出這個正方形；
（Ⅱ）求出MH=$\sqrt{E{H}^{2}-E{M}^{2}}$=6，AH=10，HB=6，即可求平面a把該長方體分成的兩部分體積的比值．

解答 解：（Ⅰ）交線圍成的正方形EFGH如圖所示；
（Ⅱ）作EM⊥AB，垂足為M，則AM=A₁E=4，EB₁=12，EM=AA₁=8．
因為EFGH為正方形，所以EH=EF=BC=10，
于是MH=$\sqrt{E{H}^{2}-E{M}^{2}}$=6，AH=10，HB=6．
因為長方體被平面α分成兩個高為10的直棱柱，
所以其體積的比值為$\frac{9}{7}$．

點評 本題考查平面與平面平行的性質(zhì)，考查學生的計算能力，比較基礎．