Question

如圖，ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，點(diǎn)E是BC中點(diǎn)，點(diǎn)F在PB上，且PE=2FB．
（1）求證：AC⊥平面AEF；
（2）求證：PD∥平面AEF．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由線面垂直的判定定理進(jìn)行判定，（2）設(shè)AE交BD于G，得

BF

FP

=

1

2

=

BG

DG

，連接FG，有FG∥PD，F(xiàn)G?AEB，PD?AEF，從而得出線面平行．

解答： 證明：（1）∵PD⊥平面ABCD，
∴PD⊥AC，
∵ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∴AC⊥平面PBD；
（2）設(shè)AE交BD于G，
∵點(diǎn)E是BC中點(diǎn)，ABCD是正方形，
∴

BG

DG

=

BE

AD

=

1

2

，
∵PF=2FB，∴

BF

FP

=

1

2

=

BG

DG

，
∴連接FG，有FG∥PD，
∵FG?AEB，PD?AEF，
∴PD∥平面AEF．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了線面垂直，線面平行的判定，牢記并理解判定定理是證明的關(guān)鍵．