Question

10．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠BAC的平分線AD交BC于D，交⊙O于E，連接CO并延長，交AE于G，交AB于F．
（Ⅰ）證明：$\frac{AF}{AB}$=$\frac{FG}{GC}$•$\frac{CD}{BD}$；
（Ⅱ）若AB=3，AC=2，BD=1，求AD的長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）過D作DM∥AB，交AC于M，連接BE，證明$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}$，$\frac{AF}{AC}=\frac{EG}{GC}$，即可證明：$\frac{AF}{AB}$=$\frac{FG}{GC}$•$\frac{CD}{BD}$；
（Ⅱ）求出DC，證明△ADC∽△ABE，可得比例線段，即可求AD的長．

解答 （Ⅰ）證明：過D作DM∥AB，交AC于M，連接BE，
∴$\frac{BD}{DC}$=$\frac{AM}{MC}$，∠BAD=∠ADM，
∵∠BAD=∠CAD，
∴∠CAD=∠ADM，
∴AM=MD，
∴$\frac{MD}{AB}=\frac{CM}{AC}$，$\frac{AB}{AC}=\frac{MD}{CM}=\frac{AM}{CM}$，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}$，
同理$\frac{AF}{AC}=\frac{EG}{GC}$
∴$\frac{AF}{AB}$=$\frac{FG}{GC}$•$\frac{CD}{BD}$；
（Ⅱ）解：∵AD•DE=BD•CD，$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}$，
∴DC=$\frac{2}{3}$，
∵△ADC∽△ABE，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AC}{AE}$，
∴AD•AE=AB•AC，
∴AD•（AD+DE）=AB•AC，
∴AD²=AB•AC-AD•DE=AB•AC-BD•DC=3×$2-1×\frac{2}{3}$=$\frac{16}{3}$，
∴AD=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查比例線段，考查三角形相似的判定與性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．