Question

對正整數(shù)n≥2，記an=

n-1

i=1

n

n-i

•

1

2i-1

（1）求a₂，a₃，a₄，a₅的值；
（2）求證：當n≥5時，有an≤

10

3

．

Answer 1

分析：（1）由于a_n=

n-1

i=1

n

n-i

•

1

2i-1

，將n=2，3，4，5代入計算即可求得a₂，a₃，a₄，a₅的值；
（2）利用數(shù)學歸納法，①當n≤5時，由（1）的結(jié)論可判斷所證關(guān)系式是否成立；②假設(shè)n=k時，結(jié)論成立，去推證n=k+1時，命題亦成立即可．

解答：解：（1）依題意，a₂=

2

2-1

•

1

21-1

=2
同理可得a₃=3，a₄=a₅=

10

3

，---------------------（4分）
（2）下面用數(shù)學歸納法證明：當n≥5時，有a_n≤

10

3

．
①當n≤5時，由（1）可得a_n≤

10

3

；
②假設(shè)n=k時，a_k≤

10

3

（k≥5），
則n=k+1時，a_k+1=

k+1

k

+

k+1

k-1

×

1

2

+

k+1

k-2

×

1

22

+…+

k+1

1

×

1

2k-1

---------（6分）
=

k+1

k

+

k+1

2k

（

k

k-1

+

k

k-2

×

1

2

+…+

k

1

×

1

2k-2

）
=

k+1

k

+

k+1

2k

a_k---------------------------------（8分）
≤

k+1

k

+

10

3

×

k+1

2k

=

k+1

k

×

8

3

≤

6

5

×

8

3

=

48 5

3

＜

10

3

．
所以當n=k+1時命題成立
綜上，當n≥5時，有a_n≤

10

3

．----------------------------------------------（10分）

點評：本題考查數(shù)學歸納法，考查運算與等價轉(zhuǎn)化思想、考查推理分析與論證的能力，屬于難題．