Question

【題目】已知函數(shù) ．
（I）如果 在 處取得極值，求 的值．
（II）求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間．
（III）當(dāng) 時(shí)，過點(diǎn) 存在函數(shù)曲線 的切線，求 的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)? ．

∵ ，

∴ ，

∵函數(shù) 在 處取得極值，

∴ ，解得

當(dāng) 時(shí)， ，

∴當(dāng) 時(shí)， 單調(diào)遞增；

當(dāng) 時(shí)， 單調(diào)遞減，

∴函數(shù) 在 處取得極小值，符合題意．

∴

（Ⅱ）因?yàn)? ．

①當(dāng) 時(shí)， 恒成立，所以 在 上單調(diào)遞減，

②當(dāng) 時(shí)，令 ，得 ，

當(dāng) 時(shí)， ， 單調(diào)遞減；

當(dāng) 時(shí)， ， 單調(diào)遞增。

綜上，當(dāng) 時(shí)， 的單調(diào)減區(qū)間為 ；

當(dāng) 時(shí)， 的單調(diào)減區(qū)間為 ，單調(diào)增區(qū)間為 。

（III）當(dāng) 時(shí)， ，

設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為 ，則 .

又 ，

所以切線方程為 ，

將 代入上式得 ．

令 ，所以 ．

當(dāng) 時(shí)，解得 ．

所以當(dāng) 時(shí)， ，函數(shù) 單調(diào)遞增；

當(dāng) 時(shí)， ，函數(shù) 單調(diào)遞減．

所以當(dāng) 時(shí)，函數(shù) 有極大值，也為最大值，且 ，無最小值．

所以當(dāng) 時(shí)，存在切線．

故 的取值范圍為

【解析】(1)根據(jù)題意先求出原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)再利用導(dǎo)數(shù)和極值的關(guān)系即可求出k的值。(2)首先求導(dǎo)再分類討論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可求出單調(diào)區(qū)間。(3)根據(jù)題意求出切點(diǎn)坐標(biāo)再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及導(dǎo)數(shù)和最值得關(guān)系即可求出。
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值．