Question

13．給出下列結(jié)論：
①y=x²+1，x∈[-1，2]，y的值域是[2，5]；
②冪函數(shù)圖象一定不過第四象限；
③函數(shù)f（x）=log_a（2x-1）-1的圖象過定點(diǎn)（1，0）；
④若log_a$\frac{1}{2}$＞1，則a的取值范圍是（$\frac{1}{2}$，1）；
⑤若2^-x-2^y＞lnx-ln（-y）（x＞0，y＜0），則x+y＜0．
其中正確的序號(hào)是②④⑤．

Answer 1

分析 直接求出二次函數(shù)的值域判斷①；由冪函數(shù)的性質(zhì)判斷②；利用代值驗(yàn)證法判斷③；分類求解對(duì)數(shù)不等式判斷④；構(gòu)造函數(shù)f（x）=2^-x-lnx，由此函數(shù)為（0，+∞）上的減函數(shù)，結(jié)合2^-x-2^y＞lnx-ln（-y）（x＞0，y＜0）求得x+y＜0判斷⑤．

解答 解：①∵x∈[-1，2]，y=x²+1，∴當(dāng)x=0時(shí)，y_min=1，當(dāng)x=2時(shí)，y_max=5，則y的值域是[1，5]，①錯(cuò)誤；
②冪函數(shù)圖象一定不過第四象限，②正確；
③∵當(dāng)x=1時(shí)，f（1）=-1，∴函數(shù)f（x）=log_a（2x-1）-1的圖象過定點(diǎn)（1，-1），故③錯(cuò)誤；
④由log_a$\frac{1}{2}$＞1，當(dāng)a＞1時(shí)，可得a$＜\frac{1}{2}$，此時(shí)a∈∅；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，解得a$＞\frac{1}{2}$，此時(shí)$\frac{1}{2}＜a＜1$．則a的取值范圍是（$\frac{1}{2}$，1），故④正確；
⑤令f（x）=2^-x-lnx，此函數(shù)為（0，+∞）上的減函數(shù)，
由2^-x-2^y＞lnx-ln（-y）（x＞0，y＜0），得2^-x-lnx＞2^y-ln（-y），則x＜-y，即x+y＜0，故⑤正確．
故答案為：②④⑤．

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了函數(shù)值域的求法，訓(xùn)練了函數(shù)圖象的平移方法，考查對(duì)數(shù)不等式的解法，構(gòu)造函數(shù)判斷⑤是該題的難點(diǎn)所在，該題是中檔題．