Question

已知△ABC中，A（0，1），B（2，4）C（6，1），P為平面上任意一點，M、N分別使，，給出下列相關命題：①；②直線MN的方程為3x+10y-28=0；③直線MN必過△ABC的外心；④向量所在射線必過N點，上述四個命題中正確的是    ．（將正確的選項全填上）．

Answer 1

【答案】分析：設P（x，y），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由題設條件求出M（1，）．N（）．由此能夠得到與不平行；直線MN的方程為3x+10y-28=0；直線MN不過△ABC的外心；向量所在射線不一定過N點．
解答：解：設P（x，y），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
∵A（0，1），B（2，4）C（6，1），
∴，，，，，
∵，
∴（x₁-x，y₁-y）==（1-x，），
∴M（1，）．
∵，
∴（）=（8-3x，6-3y）=（，2-y），
∴N（）．
∴，
∵，=-3≠0，
∴與不平行，
故①不正確；
∵M（1，），N（），
∴直線MN的方程為，
整理，得3x+10y-28=0，
故②正確；
∵A（0，1），B（2，4）C（6，1），
∴，線段AB的中點（1，），k_AC=0，線段AC的中點（3，1），
∴線段AB的中垂線為：y-=-，即4x+6y-19=0，
線段AC的中垂線為x=3，
解方程組，得△ABC的外心為（3，），
把（3，）代入3x+10y-28=0，不成立，
∴直線MN不過△ABC的外心，故③不正確；
∵A（0，1），B（2，4）C（6，1），
∴λ（）=λ[（2，3）+（6，0）]=λ（8，3）=（8λ，3λ），
∴向量所在射線不一定過N點，故④不正確．
故答案為：②．
點評：本題考查命題的真假判斷與應用，綜合性強，難度大．解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉化思想的合理運用．