Question

1．已知直線l：kx-y+1+2k=0（k∈R）．
（1）證明：直線l過定點；
（2若直線l交x軸負半軸于點A，交y軸正半軸于點B，O為坐標原點，設△AOB的面積為S，求S的最小值及此時直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）直線l過定點，說明定點的坐標與參數(shù)k無關，故讓k的系數(shù)為0 可得定點坐標．
（2）求出A、B的坐標，代入三角形的面積公式化簡，再使用基本不等式求出面積的最小值，注意等號成立條件要檢驗，求出面積最小時的k值，從而得到直線方程．

解答 解：（1）證明：由已知得k（x+2）+（1-y）=0，
∴無論k取何值，直線過定點（-2，1）．
（2）令y=0得A點坐標為（-2-$\frac{1}{k}$，0），
令x=0得B點坐標為（0，2k+1）（k＞0），
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$|-2-$\frac{1}{k}$||2k+1|
=$\frac{1}{2}$（2+$\frac{1}{k}$）（2k+1）=（4k+$\frac{1}{k}$+4）
≥$\frac{1}{2}$（4+4）=4．
當且僅當4k=$\frac{1}{k}$，即k=$\frac{1}{2}$時取等號．
即△AOB的面積的最小值為4，此時直線l的方程為$\frac{1}{2}$x-y+1+1=0．即x-2y+4=0．

點評 本題考查過定點的直線系方程特征，以及利用基本不等式求表達式的最小值．考查轉化思想以及計算能力．