Question

2．已知直線（1-m）x+（3m+1）y-4=0所過定點恰好落在函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}lo{g}_{a}x，0＜x≤3\\|x-4|，x＞3\end{array}\right.$的圖象上．
（1）f（$\frac{1}{3}$）=-1
（2）若函數h（x）=f（x）-mx+2有三個不同的零點，則實數m的取值范圍是（$\frac{1}{2}$，1）．

Answer 1

分析 （1）運用直線系方程，可得定點為（3，1），再由分段函數可得a=3，可得分段函數式，再由對數的運算性質可得所求值；
（2）函數h（x）=f（x）-mx+2有三個不同的零點，即為f（x）-mx+2=0有三個不同的實根，可令y=f（x），y=g（x）=mx-2，分別畫出y=f（x）和y=g（x）的圖象，通過圖象觀察，結合斜率公式，即可得到m的范圍．

解答 解：（1）直線（1-m）x+（3m+1）y-4=0
即為（x+y-4）-m（x+3y）=0，
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y-4=0}\\{x-3y=0}\end{array}\right.$可得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=1}\end{array}\right.$，即定點為（3，1），
由f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{a}x，0＜x≤3}\\{|x-4|，x＞3}\end{array}\right.$，
可得log_a3=1，解得a=3，
則有f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{3}x，0＜x≤3}\\{|x-4|，x＞3}\end{array}\right.$，
f（$\frac{1}{3}$）=log₃$\frac{1}{3}$=-1；
（2）函數h（x）=f（x）-mx+2有三個不同的零點，
即為f（x）-mx+2=0有三個不同的實根，
可令y=f（x），y=g（x）=mx-2，
分別畫出y=f（x）和y=g（x）的圖象，
A（0，-2），B（3，1），C（4，0），
則g（x）的圖象介于直線AB和AC之間，
介于k_AB＜m＜k_AC，
可得$\frac{1}{2}$＜m＜1．
故答案為：-1，（$\frac{1}{2}$，1）．

點評 本題考查分段函數的圖象和運用，主要考查函數的零點和方程的關系，注意運用數形結合和斜率公式是解題的關鍵．