Question

12．對(duì)數(shù)列{a_n}，{b_n}，若對(duì)任意的正整數(shù)n，都有[a_n+1，b_n+1]?[a_n，b_n]且$\lim_{n→∞}（{{b_n}-{a_n}}）=0$，則稱(chēng)[a₁，b₁]，[a₂，b₂]，…為區(qū)間套．下列選項(xiàng)中，可以構(gòu)成區(qū)間套的數(shù)列是（　�。�

• A． ${a_n}=\frac{n}{n+1}，{b_n}=\frac{2n+1}{n}$
• B． ${a_n}=\frac{n}{n+1}，{b_n}=\frac{n+2}{n+3}$
• C． ${a_n}={（\frac{1}{2}）^n}，{b_n}={（\frac{2}{3}）^n}$
• D． ${a_n}=1-{（\frac{1}{2}）^n}，{b_n}=1+{（\frac{1}{3}）^n}$

Answer 1

分析 對(duì)于A，運(yùn)用數(shù)列的極限，即可判斷；對(duì)于B，運(yùn)用n=1時(shí)，兩區(qū)間的關(guān)系，即可判斷；
對(duì)于C，運(yùn)用n=1時(shí)，判斷兩區(qū)間的關(guān)系，即可得到結(jié)論；
對(duì)于D，運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和數(shù)列的極限的公式，計(jì)算即可得到結(jié)論．

解答 解：對(duì)于A，$\underset{lim}{n→∞}$（b_n-a_n）=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{2n+1}{n}$-$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{n}{n+1}$=2-1=1≠0，故不構(gòu)成區(qū)間套；
對(duì)于B，當(dāng)n=1時(shí)，[a₁，b₁]=[$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$]，[a₂，b₂]=[$\frac{2}{3}$，$\frac{4}{5}$]，顯然不滿(mǎn)足[a₂，b₂]?[a₁，b₁]，故不構(gòu)成區(qū)間套；
對(duì)于C，當(dāng)n=1時(shí)，[a₁，b₁]=[$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$]，[a₂，b₂]=[$\frac{1}{4}$，$\frac{4}{9}$]，顯然不滿(mǎn)足[a₂，b₂]?[a₁，b₁]，故不構(gòu)成區(qū)間套
對(duì)于D，由1-（$\frac{1}{2}$）ⁿ＜1-（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹＜1+（$\frac{1}{3}$）ⁿ⁺¹＜1+（$\frac{1}{3}$）ⁿ，滿(mǎn)足[a_n+1，b_n+1]?[a_n，b_n]；又$\underset{lim}{n→∞}$（b_n-a_n）
=$\underset{lim}{n→∞}$[1-（$\frac{1}{2}$）ⁿ]-$\underset{lim}{n→∞}$[1+（$\frac{1}{3}$）ⁿ]=1-1=0，故構(gòu)成區(qū)間套．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查新定義的理解和運(yùn)用，考查數(shù)列的極限的求法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．