Question

在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，側面PAD是等邊三角形，O是AD的中點，∠ABC=120°．
（1）求證：平面ABCD⊥平面POB；
（2）若二面角P-AD-B是直二面角，E是PB的中點，求過直線AD與OE的平面截該四棱錐所成的兩部分的體積之比．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：證明題,空間位置關系與距離

分析：（1）連接BO，BD，PO，可證BO⊥AD，PO⊥AD，PO∩OB=O，從而可證明平面ABCD⊥平面POB；
（2）取PC中點M，連接AE，OE，DE，EM，DM，可證明PB⊥平面ADEM，設PA=1，則，OP=OB=

3

2

，PB=

OP2+OB2

=

6

2

，OD=

1

2

PB=

6

4

，即可求過直線AD與OE的平面截該四棱錐所成的兩部分的體積之比．

解答：
證明：（1）連接BO，BD，PO，
∵底面ABCD是菱形，側面PAD是等邊三角形，O是AD的中點，∠ABC=120°．
∴△ABD為等邊三角形，
∴BO⊥AD，PO⊥AD，PO∩OB=O，
∴AD⊥平面POB，∵AD?平面ABCD，
∴平面ABCD⊥平面POB；
（2）取PC中點M，連接AE，OE，DE，EM，DM，
∴EM

∥

.

1

2

AD，
∴由（1）可得AD⊥PB，
∴EM

∥

.

OD⊥PB，OD⊥OE，
∴PB⊥平面AEMD，
∵側面PAD是等邊三角形，E是PB的中點，∠ABC=120°．
∴AE⊥PB
∴PB⊥平面ADEM，
∴設PA=1，則，OP=OB=

3

2

，PB=

OP2+OB2

=

6

2

，
∴OD=

1

2

PB=

6

4

，
∴S_{四邊形AEMD}=S_△AOE+S_矩形EMOD=

1

2

×

1

2

×

1

2

+

1

2

×

1

2

=

3

8

，
∴

VP-ADEM

VP-ABCD-VP-ADEM

=

1 3 ×PE×SAEMD

1 3 ×PO×SABCD- 1 3 ×PE×SAEMD

=

1 3 × 1 2 × 3 8

1 3 × 3 2 × 3 4 - 1 3 × 1 2 × 3 8

=1．

點評：本題主要考察了平面與平面垂直的判定，棱柱、棱錐、棱臺的體積的解法，其中證明PB⊥平面ADEM及求OD=

1

2

PB=

6

4

是解題的關鍵，屬于中檔題．