Question

3．（1）設x≥1，y≥1，證明x+y+$\frac{1}{xy}$≤$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$+xy；
（2）設1＜a≤b≤c，證明log_ab+log_bc+log_ca≤log_ba+log_cb+log_ac．

Answer 1

分析 （1）去分母，尋找與不等式等價的式子，使用因式分解得出不等式成立的條件；
（2）令設log_ab=x，log_bc=y，則不等式與（1）中的不等式等價．

解答 證明：（1）∵x≥1，y≥1，
∴x+y+$\frac{1}{xy}$≤$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$+xy?xy（x+y）+1≤x+y+x²y²．
?（x+y）（xy-1）+（1-x²y²）≤0，
?（xy-1）（x+y-1-xy）≤0，
?（xy-1）（x+1）（1-y）≤0．
∵x≥1，y≥1，
∴xy-1≥0，x+1＞0，1-y≤0，
∴（xy-1）（x+1）（1-y）≤0成立．，
∴x+y+$\frac{1}{xy}$≤$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$+xy．
（2）設log_ab=x，log_bc=y，則log_ac=xy，log_ca=$\frac{1}{xy}$，log_ba=$\frac{1}{x}$，log_cb=$\frac{1}{y}$．
∴l(xiāng)og_ab+log_bc+log_ca≤log_ba+log_cb+log_ac?x+y+$\frac{1}{xy}$≤$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$+xy．
∵1＜a≤b≤c，∴l(xiāng)og_ab≥1，log_bc≥1，即x≥1，y≥1．
由（1）可知x+y+$\frac{1}{xy}$≤$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$+xy．
∴l(xiāng)og_ab+log_bc+log_ca≤log_ba+log_cb+log_ac．

點評 本題考查了不等式的證明及應用，對數(shù)的運算性質(zhì)，屬于中檔題．